コインを投げて、表が出たら3点、裏が出たら-2点とする。これを3回繰り返した場合の表が出た回数を $X$、合計点数を $Y$ とするとき、$Y$ の分散を求めよ。

1. 問題の内容

コインを投げて、表が出たら3点、裏が出たら-2点とする。これを3回繰り返した場合の表が出た回数を $X$、合計点数を $Y$ とするとき、$Y$ の分散を求めよ。

2. 解き方の手順

$X$ は二項分布に従う。1回の試行で表が出る確率は $1/2$ であるから、$X \sim B(3, 1/2)$。

$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ は、それぞれ

$E(X) = np = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$V(X) = np(1-p) = 3 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

$Y$ は合計点数なので、$Y = 3X - 2(3-X) = 3X - 6 + 2X = 5X - 6$ と表せる。

$Y$ の分散 $V(Y)$ を求める。分散の性質より、

$V(Y) = V(5X - 6) = 5^2 V(X) = 25V(X)$

$V(X) = \frac{3}{4}$ なので、

$V(Y) = 25 \times \frac{3}{4} = \frac{75}{4}$

3. 最終的な答え

$Y$ の分散は $\frac{75}{4}$