袋の中に8個の球が入っており、そのうち4個には10点、残りの4個には20点と書かれている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、取り出した10点の球の数を$X$、合計点数を$Y$とする。このとき、$Y$の期待値$E[Y]$を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に8個の球が入っており、そのうち4個には10点、残りの4個には20点と書かれている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、取り出した10点の球の数を$X$、合計点数を$Y$とする。このとき、$Y$の期待値$E[Y]$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$が取りうる値を考える。3個取り出すので、$X$は0, 1, 2, 3の値を取りうる。

$Y$は合計点数なので、$Y = 10X + 20(3-X) = 60 - 10X$と表せる。

$E[Y] = E[60-10X] = 60 - 10E[X]$より、$E[X]$を求める。

$E[X] = \sum_{x=0}^3 xP(X=x)$

$P(X=x)$は、3個の球を取り出した時に10点の球が$x$個である確率である。

$P(X=0) = \frac{{}_4C_0 \times {}_4C_3}{{}_8C_3} = \frac{1 \times 4}{56} = \frac{4}{56} = \frac{1}{14}$

$P(X=1) = \frac{{}_4C_1 \times {}_4C_2}{{}_8C_3} = \frac{4 \times 6}{56} = \frac{24}{56} = \frac{3}{7}$

$P(X=2) = \frac{{}_4C_2 \times {}_4C_1}{{}_8C_3} = \frac{6 \times 4}{56} = \frac{24}{56} = \frac{3}{7}$

$P(X=3) = \frac{{}_4C_3 \times {}_4C_0}{{}_8C_3} = \frac{4 \times 1}{56} = \frac{4}{56} = \frac{1}{14}$

$E[X] = 0 \times \frac{1}{14} + 1 \times \frac{3}{7} + 2 \times \frac{3}{7} + 3 \times \frac{1}{14} = \frac{3}{7} + \frac{6}{7} + \frac{3}{14} = \frac{6+12+3}{14} = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}$

$E[Y] = 60 - 10 \times \frac{3}{2} = 60 - 15 = 45$

3. 最終的な答え

45