硬貨を2回投げ、表が出たら3点、裏が出たら-2点とする。このときの合計得点を確率変数 $X$ とする。また、さいころを1回投げ、出た目を確率変数 $Y$ とする。このとき、$X+Y$ の分散を求めよ。

1. 問題の内容

硬貨を2回投げ、表が出たら3点、裏が出たら-2点とする。このときの合計得点を確率変数 $X$ とする。また、さいころを1回投げ、出た目を確率変数 $Y$ とする。このとき、$X+Y$ の分散を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の取りうる値とその確率を求める。

$X$ は、

- 2回とも表の場合：$3+3=6$ 点

- 1回表、1回裏の場合：$3+(-2)=1$ 点

- 2回とも裏の場合：$(-2)+(-2)=-4$ 点

という値を取りうる。

それぞれの確率は、

- $P(X=6) = (1/2) \times (1/2) = 1/4$

- $P(X=1) = (1/2) \times (1/2) + (1/2) \times (1/2) = 1/2$

- $P(X=-4) = (1/2) \times (1/2) = 1/4$

次に、$X$ の期待値 $E(X)$ を計算する。

$E(X) = 6 \times (1/4) + 1 \times (1/2) + (-4) \times (1/4) = 3/2 + 1/2 - 1 = 1$

次に、$X$ の分散 $V(X)$ を計算する。

$E(X^2) = 6^2 \times (1/4) + 1^2 \times (1/2) + (-4)^2 \times (1/4) = 36/4 + 1/2 + 16/4 = 9 + 1/2 + 4 = 13.5$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 13.5 - 1^2 = 12.5$

次に、$Y$ の取りうる値とその確率を求める。

$Y$ は、1, 2, 3, 4, 5, 6 の値を取りうる。

それぞれの確率は、$P(Y=i) = 1/6$ ($i=1,2,3,4,5,6$)

次に、$Y$ の期待値 $E(Y)$ を計算する。

$E(Y) = (1+2+3+4+5+6) \times (1/6) = 21/6 = 3.5$

次に、$Y$ の分散 $V(Y)$ を計算する。

$E(Y^2) = (1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) \times (1/6) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6$

$V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = 91/6 - (3.5)^2 = 91/6 - 49/4 = (182-147)/12 = 35/12$

$X$ と $Y$ は独立なので、$X+Y$ の分散は、

$V(X+Y) = V(X) + V(Y) = 12.5 + 35/12 = 25/2 + 35/12 = (150+35)/12 = 185/12$

3. 最終的な答え

$X+Y$ の分散は $185/12$