AさんとBさんがそれぞれ2枚の硬貨を同時に投げます。Aさんの硬貨で表が出た枚数を確率変数$X$、Bさんの硬貨で表が出た枚数を確率変数$Y$とします。このとき、確率変数$XY$の期待値$E[XY]$を求めなさい。

1. 問題の内容

AさんとBさんがそれぞれ2枚の硬貨を同時に投げます。Aさんの硬貨で表が出た枚数を確率変数$X$、Bさんの硬貨で表が出た枚数を確率変数$Y$とします。このとき、確率変数$XY$の期待値$E[XY]$を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$X$と$Y$が取りうる値とその確率を考えます。$X$と$Y$はそれぞれ0枚、1枚、2枚の表が出る可能性があります。硬貨を2枚投げる時の表の枚数の確率分布は二項分布に従います。

$X$（または$Y$）が$k$枚（$k=0, 1, 2$）表が出る確率は、

$P(X=k) = {}_2C_k \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{2-k} = {}_2C_k \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{{}_2C_k}{4}$

となります。したがって、

$P(X=0) = \frac{{}_2C_0}{4} = \frac{1}{4}$

$P(X=1) = \frac{{}_2C_1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$P(X=2) = \frac{{}_2C_2}{4} = \frac{1}{4}$

同様に、$Y$についても同じ確率分布になります。

次に、$XY$の期待値を計算します。$X$と$Y$は独立なので、$E[XY] = E[X]E[Y]$が成り立ちます。

$X$の期待値$E[X]$は、

$E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

$Y$の期待値$E[Y]$も同様に、

$E[Y] = 0 \cdot P(Y=0) + 1 \cdot P(Y=1) + 2 \cdot P(Y=2) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

したがって、$E[XY] = E[X]E[Y] = 1 \cdot 1 = 1$

3. 最終的な答え

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