確率変数 $X$ の期待値が $E[X] = 1$ で分散が $V[X] = 5$、確率変数 $Y$ の期待値が $E[Y] = 2$ で分散が $V[Y] = 4$ である。$X$ と $Y$ は互いに独立であるとき、確率変数 $X + 2Y$ の分散 $V[X + 2Y]$ を求めよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の期待値が $E[X] = 1$ で分散が $V[X] = 5$、確率変数 $Y$ の期待値が $E[Y] = 2$ で分散が $V[Y] = 4$ である。$X$ と $Y$ は互いに独立であるとき、確率変数 $X + 2Y$ の分散 $V[X + 2Y]$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、分散の性質から、定数倍された確率変数の分散は、定数の二乗倍になることを利用します。つまり、

$V[aX] = a^2 V[X]$

また、独立な確率変数 $X$ と $Y$ の和の分散は、それぞれの分散の和になることを利用します。つまり、

$V[X + Y] = V[X] + V[Y]$

これらの性質を組み合わせて、 $V[X + 2Y]$ を計算します。

$V[X + 2Y] = V[X] + V[2Y] = V[X] + 2^2 V[Y] = V[X] + 4V[Y]$

与えられた値を代入すると、

$V[X + 2Y] = 5 + 4 \times 4 = 5 + 16 = 21$

3. 最終的な答え

$X + 2Y$ の分散は 21 です。