原点から出発し、座標平面上を動く点Pがあります。サイコロを投げて1, 2, 3, 4の目が出たらx軸方向に+1移動し、それ以外の目が出たらy軸方向に+1移動します。サイコロを6回投げた後の点Pのx座標をX、y座標をYとするとき、Yの期待値と分散を求めてください。

1. 問題の内容

原点から出発し、座標平面上を動く点Pがあります。サイコロを投げて1, 2, 3, 4の目が出たらx軸方向に+1移動し、それ以外の目が出たらy軸方向に+1移動します。サイコロを6回投げた後の点Pのx座標をX、y座標をYとするとき、Yの期待値と分散を求めてください。

2. 解き方の手順

Yは、サイコロを6回投げた時に、1,2,3,4以外の目が出た回数です。サイコロを1回投げて1,2,3,4以外の目が出る確率は、$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$です。

したがって、Yは二項分布 $B(6, \frac{1}{3})$に従います。

二項分布$B(n, p)$に従う確率変数$X$の期待値$E[X]$と分散$V[X]$は、次のようになります。

$E[X] = np$

$V[X] = np(1-p)$

したがって、Yの期待値$E[Y]$と分散$V[Y]$は、

$E[Y] = 6 \times \frac{1}{3} = 2$

$V[Y] = 6 \times \frac{1}{3} \times (1 - \frac{1}{3}) = 6 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

Yの期待値: 2

Yの分散: $\frac{4}{3}$