原点から出発して数直線上を動く点Pがある。さいころを投げて2の倍数が出たら+2だけ移動し、それ以外の目が出たら-1だけ移動する。さいころを10回投げたとき、Pの座標Xの期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めよ。

1. 問題の内容

原点から出発して数直線上を動く点Pがある。さいころを投げて2の倍数が出たら+2だけ移動し、それ以外の目が出たら-1だけ移動する。さいころを10回投げたとき、Pの座標Xの期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行におけるXの移動量の期待値を求める。さいころを1回投げて2の倍数が出る確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ である。2の倍数が出た場合は+2移動し、それ以外の場合は-1移動するので、1回の試行におけるXの移動量の期待値は、

$E[X_1] = 2 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

10回の試行におけるXの移動量の期待値は、各試行の期待値の和であるから、

$E[X] = 10 \cdot E[X_1] = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$

次に、1回の試行におけるXの移動量の分散を求める。

$V[X_1] = E[X_1^2] - (E[X_1])^2$

$E[X_1^2] = (2^2) \cdot \frac{1}{2} + ((-1)^2) \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

$V[X_1] = \frac{5}{2} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{2} - \frac{1}{4} = \frac{10}{4} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

10回の試行におけるXの移動量の分散は、各試行の分散の和である。

$V[X] = 10 \cdot V[X_1] = 10 \cdot \frac{9}{4} = \frac{90}{4} = \frac{45}{2}$

3. 最終的な答え

期待値: 5

分散: $\frac{45}{2}$