原点Oから出発して数直線上を動く点Pがある。サイコロを投げて3の倍数（3または6）が出たら+3だけ移動し、それ以外の目が出たら-2だけ移動する。サイコロを9回投げたとき、Pの座標Xの期待値と分散を求めよ。

1. 問題の内容

原点Oから出発して数直線上を動く点Pがある。サイコロを投げて3の倍数（3または6）が出たら+3だけ移動し、それ以外の目が出たら-2だけ移動する。サイコロを9回投げたとき、Pの座標Xの期待値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、サイコロを1回投げたときに、3の倍数が出る確率とそれ以外の目が出る確率を計算する。

3の倍数が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

3の倍数以外の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

次に、サイコロを1回投げたときの移動量の期待値を計算する。

期待値 $E = (+3) \times \frac{1}{3} + (-2) \times \frac{2}{3} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$

サイコロを9回投げたときの移動量の期待値は、1回の期待値の9倍になる。

9回の期待値 $E(X) = 9 \times (-\frac{1}{3}) = -3$

次に、サイコロを1回投げたときの移動量の分散を計算する。

分散を計算するために、まず2乗の期待値を計算する。

$E(X^2) = (+3)^2 \times \frac{1}{3} + (-2)^2 \times \frac{2}{3} = 9 \times \frac{1}{3} + 4 \times \frac{2}{3} = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$

分散 $V = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{17}{3} - (-\frac{1}{3})^2 = \frac{17}{3} - \frac{1}{9} = \frac{51}{9} - \frac{1}{9} = \frac{50}{9}$

サイコロを9回投げたときの移動量の分散は、1回の分散の9倍になる（独立な試行の場合）。

9回の分散 $V(X) = 9 \times \frac{50}{9} = 50$

3. 最終的な答え

期待値：-3

分散：50