原点Oから出発して座標平面上を動く点Pがある。さいころを投げて1, 2, 3, 4の目が出たらx軸の方向に+1だけ移動し、それ以外の目が出たらy軸の方向に+1だけ移動する。さいころを6回投げた後のPのx座標、y座標をそれぞれX, Yとするとき、X-Yの期待値と分散を求めよ。

1. 問題の内容

原点Oから出発して座標平面上を動く点Pがある。さいころを投げて1, 2, 3, 4の目が出たらx軸の方向に+1だけ移動し、それ以外の目が出たらy軸の方向に+1だけ移動する。さいころを6回投げた後のPのx座標、y座標をそれぞれX, Yとするとき、X-Yの期待値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、XとYの期待値と分散をそれぞれ計算する。

さいころを1回投げたとき、x軸方向に+1移動する確率は $4/6 = 2/3$、y軸方向に+1移動する確率は $2/6 = 1/3$である。

Xは二項分布 $B(6, 2/3)$に従う。

Xの期待値 $E[X] = 6 \times (2/3) = 4$

Xの分散 $V[X] = 6 \times (2/3) \times (1/3) = 4/3$

Yは二項分布 $B(6, 1/3)$に従う。

Yの期待値 $E[Y] = 6 \times (1/3) = 2$

Yの分散 $V[Y] = 6 \times (1/3) \times (2/3) = 4/3$

XとYは独立なので、

$E[X-Y] = E[X] - E[Y] = 4 - 2 = 2$

$V[X-Y] = V[X] + V[Y] = 4/3 + 4/3 = 8/3$

3. 最終的な答え

X-Yの期待値: 2

X-Yの分散: 8/3