袋の中に白玉2個と赤玉7個が入っている。袋から1個取り出し、色を確認後、袋に戻す。この試行を3回繰り返す。白玉が出る回数を$X$とする時、$X$の期待値と分散を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白玉2個と赤玉7個が入っている。袋から1個取り出し、色を確認後、袋に戻す。この試行を3回繰り返す。白玉が出る回数を$X$とする時、$X$の期待値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布の問題である。

1回の試行で白玉が出る確率を$p$とすると、$p = \frac{2}{2+7} = \frac{2}{9}$となる。

$n$回の試行で白玉が出る回数$X$は二項分布$B(n, p)$に従う。

この問題では、$n=3$なので、$X \sim B(3, \frac{2}{9})$となる。

二項分布$B(n, p)$に従う確率変数$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$は以下の式で求められる。

$E(X) = np$

$V(X) = np(1-p)$

この問題では、$n=3$、$p = \frac{2}{9}$なので、

$E(X) = 3 \times \frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

$V(X) = 3 \times \frac{2}{9} \times (1 - \frac{2}{9}) = 3 \times \frac{2}{9} \times \frac{7}{9} = \frac{42}{81} = \frac{14}{27}$

3. 最終的な答え

期待値: $\frac{2}{3}$

分散: $\frac{14}{27}$