原点から出発して座標平面上を動く点Pがある。サイコロを投げて1,2,3,4の目が出たらx軸の方向に+1だけ移動し、それ以外の目が出たらy軸の方向に+1だけ移動する。サイコロを6回投げたあとのPのx座標、y座標をそれぞれX, Yとするとき、6X+3Yの期待値と分散を求める。

1. 問題の内容

原点から出発して座標平面上を動く点Pがある。サイコロを投げて1,2,3,4の目が出たらx軸の方向に+1だけ移動し、それ以外の目が出たらy軸の方向に+1だけ移動する。サイコロを6回投げたあとのPのx座標、y座標をそれぞれX, Yとするとき、6X+3Yの期待値と分散を求める。

2. 解き方の手順

まず、確率変数の期待値と分散の性質を確認する。

* 期待値の線形性：$E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$

* 分散の性質（XとYが独立なとき）：$V[aX + bY] = a^2V[X] + b^2V[Y]$

XとYはそれぞれ、サイコロを6回投げたときに、x軸方向に移動した回数とy軸方向に移動した回数を表す確率変数である。サイコロの目が1,2,3,4のいずれかが出る確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$、それ以外の目が出る確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$である。

したがって、Xは二項分布$B(6, \frac{2}{3})$に従い、Yは二項分布$B(6, \frac{1}{3})$に従う。

二項分布の期待値と分散は以下の通りである。

* 期待値：$E[X] = np$, $E[Y] = np$

* 分散：$V[X] = np(1-p)$, $V[Y] = np(1-p)$

Xの期待値と分散は、

$E[X] = 6 \times \frac{2}{3} = 4$

$V[X] = 6 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

Yの期待値と分散は、

$E[Y] = 6 \times \frac{1}{3} = 2$

$V[Y] = 6 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

次に、6X+3Yの期待値を計算する。

$E[6X + 3Y] = 6E[X] + 3E[Y] = 6 \times 4 + 3 \times 2 = 24 + 6 = 30$

XとYは独立なので、6X+3Yの分散は、

$V[6X + 3Y] = 6^2V[X] + 3^2V[Y] = 36 \times \frac{4}{3} + 9 \times \frac{4}{3} = 12 \times 4 + 3 \times 4 = 48 + 12 = 60$

3. 最終的な答え

6X+3Yの期待値は30、分散は60である。

期待値: 30

分散: 60