数学的帰納法を用いて、次の等式を証明します。 $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1}{2}n(n+1)$

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、次の等式を証明します。

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1}{2}n(n+1)$

2. 解き方の手順

(1) $n = 1$ のとき：

左辺は $1$。右辺は $\frac{1}{2}(1)(1+1) = \frac{1}{2}(1)(2) = 1$。

よって、$n = 1$ のとき、等式は成り立つ。

(2) $n = k$ のとき、等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{1}{2}k(k+1)$

が成り立つと仮定する。

(3) $n = k + 1$ のとき、等式が成り立つことを示す。すなわち、

$1 + 2 + 3 + \dots + k + (k+1) = \frac{1}{2}(k+1)(k+2)$

を示す。

(2) の仮定より、

$1 + 2 + 3 + \dots + k + (k+1) = \frac{1}{2}k(k+1) + (k+1)$

$= (k+1)(\frac{1}{2}k + 1)$

$= (k+1)(\frac{1}{2}k + \frac{2}{2})$

$= (k+1)\frac{k+2}{2}$

$= \frac{1}{2}(k+1)(k+2)$

したがって、$n = k + 1$ のときも等式は成り立つ。

(1), (2), (3) より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ に対して等式は成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1}{2}n(n+1)$ が成り立つ。