定義域 $0 \le x \le 2$ をもつ関数 $f(x)$ が次のように定義されている。 $f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \le \frac{1}{2}) \\ 2x^2 - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2} \le x \le 2) \end{cases}$ 曲線 $y=f(x)$ を $y$ 軸の周りに1回転させてできる曲面の形をした容器がある。この容器に空の状態から毎秒 $\pi$ の割合で水を注いでいく。 (1) 水を注ぎ始めてから5秒後の水面の底面からの高さを求めよ。 (2) 水面の上昇速度を求めよ。

1. 問題の内容

定義域 $0 \le x \le 2$ をもつ関数 $f(x)$ が次のように定義されている。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \le \frac{1}{2}) \\ 2x^2 - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2} \le x \le 2) \end{cases}$

曲線 $y=f(x)$ を $y$ 軸の周りに1回転させてできる曲面の形をした容器がある。この容器に空の状態から毎秒 $\pi$ の割合で水を注いでいく。

(1) 水を注ぎ始めてから5秒後の水面の底面からの高さを求めよ。

(2) 水面の上昇速度を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 水を注ぎ始めてから5秒後に容器に入っている水の体積は $5\pi$ である。$0 \le x \le \frac{1}{2}$ では $f(x) = 0$ なので、この範囲には水は入らない。よって、水の体積は $y = 2x^2 - \frac{1}{2}$ の部分に入る。$y = 2x^2 - \frac{1}{2}$ を $y$ 軸の周りに回転させた容器に、体積が $5\pi$ の水が入っているときの水面の高さを求める。

$y = 2x^2 - \frac{1}{2}$ より、$2x^2 = y + \frac{1}{2}$ なので、$x^2 = \frac{1}{2}y + \frac{1}{4}$。

$y$ 軸の周りに回転させたときの体積 $V$ は、水面の高さ $h$ として、

$V = \int_0^h \pi x^2 dy = \int_0^h \pi (\frac{1}{2}y + \frac{1}{4}) dy = \pi [\frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4}y]_0^h = \pi (\frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h)$

$V = 5\pi$ とすると、

$5\pi = \pi(\frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h)$

$5 = \frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h$

$20 = h^2 + h$

$h^2 + h - 20 = 0$

$(h+5)(h-4) = 0$

$h > 0$ なので、$h = 4$。

(2) 水面の上昇速度を求める。$\frac{dV}{dt} = \pi$ である。

$V = \pi(\frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h)$ より、

$\frac{dV}{dt} = \pi(\frac{1}{2}h + \frac{1}{4})\frac{dh}{dt}$

$\pi = \pi(\frac{1}{2}h + \frac{1}{4})\frac{dh}{dt}$

$1 = (\frac{1}{2}h + \frac{1}{4})\frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt} = \frac{1}{\frac{1}{2}h + \frac{1}{4}} = \frac{4}{2h+1}$

$h = 4$ のとき、

$\frac{dh}{dt} = \frac{4}{2(4)+1} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

(1) 水面の底面からの高さ: $4$

(2) 水面の上昇速度: $\frac{4}{9}$