1から10までの整数が書かれた10枚のカードが入った箱から、1枚カードを取り出して数字を記録し、箱に戻すという操作を3回繰り返します。 (1) 記録された数字が全て6以上である確率を求めます。 (2) 記録された数字の最小値が6である確率を求めます。 (3) 記録された数字の最大値が6である確率を求めます。

1. 問題の内容

1から10までの整数が書かれた10枚のカードが入った箱から、1枚カードを取り出して数字を記録し、箱に戻すという操作を3回繰り返します。

(1) 記録された数字が全て6以上である確率を求めます。

(2) 記録された数字の最小値が6である確率を求めます。

(3) 記録された数字の最大値が6である確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 全て6以上である確率

1回の試行で6以上の数字が出る確率は、6, 7, 8, 9, 10の5つの数字のうちのいずれかが出る確率なので、$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$です。

3回の試行全てで6以上が出る確率は、各試行が独立なので、

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\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}

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(2) 最小値が6である確率

最小値が6であるということは、3回とも6以上の数字が出て、かつ少なくとも1回は6が出なければなりません。

3回とも6以上の数字が出る確率は(1)で求めた$\frac{1}{8}$です。

3回とも7以上の数字が出る確率は、1回の試行で7以上の数字が出る確率が$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$なので、

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\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125}

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したがって、最小値が6である確率は、

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\frac{1}{8} - \frac{8}{125} = \frac{125 - 64}{1000} = \frac{61}{1000}

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(3) 最大値が6である確率

最大値が6であるということは、3回とも6以下の数字が出て、かつ少なくとも1回は6が出なければなりません。

3回とも6以下の数字が出る確率は、1回の試行で6以下の数字が出る確率が$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$なので、

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\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}

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3回とも5以下の数字が出る確率は、1回の試行で5以下の数字が出る確率が$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$なので、

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\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = \frac{125}{1000}

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したがって、最大値が6である確率は、

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\frac{27}{125} - \frac{1}{8} = \frac{216}{1000} - \frac{125}{1000} = \frac{91}{1000}

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{8}$

(2) $\frac{61}{1000}$

(3) $\frac{91}{1000}$