(1) $\cos 4\theta$ を $\cos \theta$ を用いて表す。 (2) $0 < \theta < \frac{\pi}{8}$ のとき、$\tan 4\theta$ を $\tan \theta$ を用いて表す。

1. 問題の内容

(1) $\cos 4\theta$ を $\cos \theta$ を用いて表す。

(2) $0 < \theta < \frac{\pi}{8}$ のとき、$\tan 4\theta$ を $\tan \theta$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos 4\theta = \cos (2 \cdot 2\theta)$ と考え、まず2倍角の公式を用いて $\cos 2\theta$ を $\cos \theta$ で表す。

$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$

次に、$\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1$ を用いて $\cos 4\theta$ を $\cos 2\theta$ で表し、さらに $\cos \theta$ で表す。

$\cos 4\theta = 2(2\cos^2 \theta - 1)^2 - 1$

$\cos 4\theta = 2(4\cos^4 \theta - 4\cos^2 \theta + 1) - 1$

$\cos 4\theta = 8\cos^4 \theta - 8\cos^2 \theta + 2 - 1$

$\cos 4\theta = 8\cos^4 \theta - 8\cos^2 \theta + 1$

(2)

$\tan 4\theta = \tan (2 \cdot 2\theta)$ と考え、まず2倍角の公式を用いて $\tan 2\theta$ を $\tan \theta$ で表す。

$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$

次に、$\tan 4\theta = \frac{2\tan 2\theta}{1 - \tan^2 2\theta}$ を用いて $\tan 4\theta$ を $\tan 2\theta$ で表し、さらに $\tan \theta$ で表す。

$\tan 4\theta = \frac{2(\frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta})}{1 - (\frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta})^2}$

$\tan 4\theta = \frac{\frac{4\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}}{1 - \frac{4\tan^2 \theta}{(1 - \tan^2 \theta)^2}}$

$\tan 4\theta = \frac{4\tan \theta (1 - \tan^2 \theta)}{(1 - \tan^2 \theta)^2 - 4\tan^2 \theta}$

$\tan 4\theta = \frac{4\tan \theta (1 - \tan^2 \theta)}{1 - 2\tan^2 \theta + \tan^4 \theta - 4\tan^2 \theta}$

$\tan 4\theta = \frac{4\tan \theta (1 - \tan^2 \theta)}{1 - 6\tan^2 \theta + \tan^4 \theta}$

$\tan 4\theta = \frac{4\tan \theta - 4\tan^3 \theta}{1 - 6\tan^2 \theta + \tan^4 \theta}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos 4\theta = 8\cos^4 \theta - 8\cos^2 \theta + 1$

(2) $\tan 4\theta = \frac{4\tan \theta - 4\tan^3 \theta}{1 - 6\tan^2 \theta + \tan^4 \theta}$