媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ 、 $y = \frac{4t}{1+t^2}$ で表される曲線が $xy$ 平面上でどのような曲線を表すか答えなさい。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ 、 $y = \frac{4t}{1+t^2}$ で表される曲線が $xy$ 平面上でどのような曲線を表すか答えなさい。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の式を変形して、$t$ を消去することを考えます。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ と $y = \frac{4t}{1+t^2}$ より、

$$x^2 = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 = \frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1-2t^2+t^4}{1+2t^2+t^4}$$

$$y^2 = \left(\frac{4t}{1+t^2}\right)^2 = \frac{16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{16t^2}{1+2t^2+t^4}$$

したがって、

$$x^2 + y^2 = \frac{1-2t^2+t^4}{1+2t^2+t^4} + \frac{16t^2}{1+2t^2+t^4} = \frac{1+14t^2+t^4}{1+2t^2+t^4}$$

このままでは $t$ を消去できません。

$x$ と $y$ を使って別の式を作ります。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ 、 $y = \frac{4t}{1+t^2}$ より、$1+t^2 = \frac{4t}{y}$ が得られます。これを $x$ の式に代入すると、

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac{1-t^2}{4t/y} = \frac{y(1-t^2)}{4t}$

$y = \frac{4t}{1+t^2}$ より、$y(1+t^2) = 4t$ なので、$yt^2 - 4t + y = 0$ が得られます。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4y^2}}{2y} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - y^2}}{y}$。

したがって、$-2 \le y \le 2$。

ここで、$x^2 + y^2$ を求めると、

$x^2 + \frac{y^2}{4} = (\frac{1-t^2}{1+t^2})^2 + (\frac{2t}{1+t^2})^2 = \frac{1-2t^2+t^4+4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1+2t^2+t^4}{(1+t^2)^2} = \frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} = 1$

これは楕円の方程式です。$x^2 + \frac{y^2}{4}=1$

$y = \frac{4t}{1+t^2}$ のとき、$-2 \le y \le 2$ なので、楕円全体を表します。

この楕円は、$x^2 + \frac{y^2}{4}=1$ で表される楕円です。

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ で表される楕円