媒介変数 $t$ を用いて表された $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ と $y = \frac{4t}{1+t^2}$ が与えられています。この式が $xy$ 平面上でどのような曲線を表すか求め、図示する必要があります。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて表された $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ と $y = \frac{4t}{1+t^2}$ が与えられています。この式が $xy$ 平面上でどのような曲線を表すか求め、図示する必要があります。

2. 解き方の手順

$x$ と $y$ の式から $t$ を消去して、$x$ と $y$ の関係式を導きます。

まず、$x$ と $y$ の式から $x^2$ と $y^2$ を計算します。

$x^2 = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 = \frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

$y^2 = \left(\frac{4t}{1+t^2}\right)^2 = \frac{16t^2}{(1+t^2)^2}$

次に、$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{(1+t^2)^2} + \frac{16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 + 14t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

これは簡単にはなりません。

ここで、与えられた $y$ の式に注目して、$y/4 = \frac{t}{1+t^2}$ となります。

また、$x+1 = \frac{1-t^2}{1+t^2} + 1 = \frac{1-t^2 + 1+t^2}{1+t^2} = \frac{2}{1+t^2}$.

したがって、$1+t^2 = \frac{2}{x+1}$ となります。これを $y = \frac{4t}{1+t^2}$ に代入すると、

$y = 4t \cdot \frac{x+1}{2} = 2t(x+1)$ なので、$t = \frac{y}{2(x+1)}$.

この $t$ を $1+t^2 = \frac{2}{x+1}$ に代入します。

$1 + \left(\frac{y}{2(x+1)}\right)^2 = \frac{2}{x+1}$

$1 + \frac{y^2}{4(x+1)^2} = \frac{2}{x+1}$

両辺に $4(x+1)^2$ を掛けると

$4(x+1)^2 + y^2 = 8(x+1)$

$4(x^2+2x+1) + y^2 = 8x+8$

$4x^2+8x+4 + y^2 = 8x+8$

$4x^2 + y^2 = 4$

したがって、$\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} = 1$ となり、これは楕円を表します。

ただし、$x \ne -1$ であり、$x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ より、$t=0$のとき$x=1$であり、$t \rightarrow \pm \infty$のとき$x \rightarrow -1$となるので、$x=-1$ にはなりません。

しかし、 $t$ が存在しないような $x, y$ の値が存在します。

$1+t^2 \ge 1$ なので、$y=\frac{4t}{1+t^2}$ の最大値は $t=1$のとき $y=2$, 最小値は$t=-1$のとき $y=-2$となるので、$y \in [-2, 2]$. また、$y=0$ となるのは、$t=0$のときで、$x=1$.

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} = 1$ で表される楕円。