$\triangle ABC$において、$\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $BC = 3$のとき、$CA$の値を求めよ。$CA = \sqrt{\boxed{キ}}$の形で答える。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $BC = 3$のとき、$CA$の値を求めよ。$CA = \sqrt{\boxed{キ}}$の形で答える。

2. 解き方の手順

まず、$\angle C$を求める。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ$

次に、正弦定理を用いる。

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{CA}{\sin B}$

与えられた値を代入すると、

$\frac{3}{\sin 120^\circ} = \frac{CA}{\sin 45^\circ}$

$CA = \frac{3 \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ}$

ここで、$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$CA = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \sqrt{6}$

したがって、$CA = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

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