与えられた分数の足し算 $\frac{x-2}{x^2-x} + \frac{3}{x^2+x-2}$ を計算し、最も簡単な形で表してください。

1. 問題の内容

与えられた分数の足し算 $\frac{x-2}{x^2-x} + \frac{3}{x^2+x-2}$ を計算し、最も簡単な形で表してください。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を因数分解します。

$x^2 - x = x(x-1)$

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

与えられた式は以下のようになります。

$\frac{x-2}{x(x-1)} + \frac{3}{(x+2)(x-1)}$

次に、分母を共通化します。共通の分母は $x(x-1)(x+2)$ となります。

$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-1)(x+2)} + \frac{3x}{x(x-1)(x+2)}$

分子を整理します。

$\frac{x^2 - 4}{x(x-1)(x+2)} + \frac{3x}{x(x-1)(x+2)}$

分子同士を足し合わせます。

$\frac{x^2 - 4 + 3x}{x(x-1)(x+2)}$

分子を整理します。

$\frac{x^2 + 3x - 4}{x(x-1)(x+2)}$

分子を因数分解します。

$x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{(x+4)(x-1)}{x(x-1)(x+2)}$

$(x-1)$ で分子と分母を約分します。

$\frac{x+4}{x(x+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{x+4}{x(x+2)}$