円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線ABと直線CDの交点をPとする。PA = 3, AB = 7, CD = 1であるとき、PCの長さを求める。

1. 問題の内容

円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線ABと直線CDの交点をPとする。PA = 3, AB = 7, CD = 1であるとき、PCの長さを求める。

2. 解き方の手順

方べきの定理を用いる。

点Pから円への2つの割線について、以下の関係が成り立つ。

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

問題文より、$PA = 3$, $AB = 7$ であるから、

$PB = PA + AB = 3 + 7 = 10$

したがって、$PA \cdot PB = 3 \cdot 10 = 30$

次に、$CD = 1$ であるから、$PD = PC + CD = PC + 1$

したがって、$PC \cdot PD = PC \cdot (PC + 1)$

方べきの定理より、

$PC \cdot (PC + 1) = 30$

$PC^2 + PC - 30 = 0$

この2次方程式を解く。

3. 最終的な答え

$PC^2 + PC - 30 = 0$

$(PC + 6)(PC - 5) = 0$

$PC = -6$ または $PC = 5$

PCは長さなので、$PC > 0$ より、$PC = 5$

答え：5