与えられた条件を満たす実数 $k$ の値の範囲を求める問題です。 (1) すべての実数 $x$ に対して $kx^2 - kx + 2 > 0$ が成り立つ。 (2) ある実数 $x$ に対して $x^2 - 2x + 9 < kx$ が成り立つ。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす実数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

(1) すべての実数 $x$ に対して $kx^2 - kx + 2 > 0$ が成り立つ。

(2) ある実数 $x$ に対して $x^2 - 2x + 9 < kx$ が成り立つ。

2. 解き方の手順

(1) すべての実数 $x$ に対して $kx^2 - kx + 2 > 0$ が成り立つための条件を考えます。

* $k = 0$ のとき、 $2 > 0$ となり、これは常に成り立つので $k = 0$ は条件を満たします。

* $k > 0$ のとき、2次関数 $f(x) = kx^2 - kx + 2$ が常に正であるためには、判別式 $D = (-k)^2 - 4(k)(2) = k^2 - 8k < 0$ でなければなりません。

$k^2 - 8k < 0$ より $k(k - 8) < 0$ となり、$0 < k < 8$ が得られます。

$k>0$ であることを考慮すると、$0 < k < 8$ となります。

以上より、$k=0$ または $0 < k < 8$ なので、$0 \le k < 8$ が条件を満たす $k$ の範囲です。

(2) ある実数 $x$ に対して $x^2 - 2x + 9 < kx$ が成り立つための条件を考えます。

$x^2 - 2x + 9 < kx$ を変形すると $x^2 - (k+2)x + 9 < 0$ となります。

2次関数 $g(x) = x^2 - (k+2)x + 9$ がある $x$ で負になるためには、判別式 $D = (k+2)^2 - 4(1)(9) > 0$ でなければなりません。

$D = (k+2)^2 - 36 > 0$ より $(k+2)^2 > 36$ となり、$k+2 > 6$ または $k+2 < -6$ となります。

したがって、$k > 4$ または $k < -8$ が条件を満たす $k$ の範囲です。

3. 最終的な答え

(1) $0 \le k < 8$

(2) $k < -8$ または $k > 4$