全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A$, $B$ について、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 9\}$, $A \cap B = \{5, 7\}$, $\overline{A} \cap B = \{2, 4, 8\}$ であるとき、次の集合を求めます。 (1) $A \cup B$ (2) $B$ (3) $A$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A$, $B$ について、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 9\}$, $A \cap B = \{5, 7\}$, $\overline{A} \cap B = \{2, 4, 8\}$ であるとき、次の集合を求めます。

(1) $A \cup B$

(2) $B$

(3) $A$

2. 解き方の手順

まず、集合の関係を図示するために、ベン図を考えると分かりやすくなります。

* $\overline{A} \cap \overline{B}$ は $A$ にも $B$ にも属さない要素の集合です。

* $A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に属する要素の集合です。

* $\overline{A} \cap B$ は $A$ には属さず $B$ に属する要素の集合です。

(1) $A \cup B$ を求めるためには、$A$ と $B$ の要素をすべて知る必要があります。

まず、$B$ の要素を求めます。$B$ は $A$ との共通部分 $A \cap B$ と $A$ に属さない部分 $\overline{A} \cap B$ から構成されます。

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)$

$B = \{5, 7\} \cup \{2, 4, 8\}$

$B = \{2, 4, 5, 7, 8\}$

$U$ から $A \cup B$ に含まれない要素は $\overline{A} \cap \overline{B}$ です。

つまり、$A \cup B = U - (\overline{A} \cap \overline{B})$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 9\}$

$A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(2) 既に求めています。

$B = \{2, 4, 5, 7, 8\}$

(3) $A$ を求めます。$A \cup B$ と $B$ がわかっているので、$A = (A \cup B) - (B - A)$ を利用します。$B - A$ は $B$ から $A$ との共通部分を取り除いたもので、$\overline{A} \cap B$ と同じです。

$A = (A \cup B) - (\overline{A} \cap B)$

$A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} - \{2, 4, 8\}$

$A = \{3, 5, 6, 7\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(2) $B = \{2, 4, 5, 7, 8\}$

(3) $A = \{3, 5, 6, 7\}$