与えられた数式を因数分解します。 (1) $4x^2+12x+9$ (3) $4a^2-25b^2$ (4) $a^2-3ab-10b^2$ (1) $12x^3-75xy^2$

1. 問題の内容

与えられた数式を因数分解します。

(1) $4x^2+12x+9$

(3) $4a^2-25b^2$

(4) $a^2-3ab-10b^2$

(1) $12x^3-75xy^2$

2. 解き方の手順

(1)

$4x^2+12x+9$は、$(ax+b)^2=a^2x^2+2abx+b^2$の形をしています。

$a^2=4$, $2ab=12$, $b^2=9$となる$a$と$b$を探します。

$a=2$, $b=3$とすると、$(2x+3)^2 = 4x^2+12x+9$となります。

(3)

$4a^2-25b^2$は、$(ax)^2-(by)^2=(ax+by)(ax-by)$の形をしています。

$ax=2a$, $by=5b$とすると、$(2a)^2-(5b)^2=(2a+5b)(2a-5b)$となります。

(4)

$a^2-3ab-10b^2$は、$(a+xb)(a+yb)$の形をしています。

$xy=-10$, $x+y=-3$となる$x$と$y$を探します。

$x=2$, $y=-5$とすると、$(a+2b)(a-5b)$となります。

展開すると、$a^2-5ab+2ab-10b^2 = a^2-3ab-10b^2$となり、元の式と一致します。

(1)

$12x^3-75xy^2$ の各項は $3x$ を共通因数として持つため、まず $3x$ で括ります。

$3x(4x^2-25y^2)$

$4x^2-25y^2$は、(3)と同様に、$(2x)^2 - (5y)^2$と変形できるので、$(2x+5y)(2x-5y)$と因数分解できます。

したがって、$3x(2x+5y)(2x-5y)$となります。

3. 最終的な答え

(1) $(2x+3)^2$

(3) $(2a+5b)(2a-5b)$

(4) $(a+2b)(a-5b)$

(1) $3x(2x+5y)(2x-5y)$