$x = \frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}$、 $y = \frac{3}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}$ のとき、$x+y$、$xy$、$x^2+y^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}$、 $y = \frac{3}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}$ のとき、$x+y$、$xy$、$x^2+y^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x$ と $y$ の分母を有理化します。

$x = \frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{6}} = \frac{3(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{(\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{6})} = \frac{3(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{3-6} = \frac{3(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{-3} = -(\sqrt{3}-\sqrt{6}) = \sqrt{6}-\sqrt{3}$

$y = \frac{3}{\sqrt{3}-\sqrt{6}} = \frac{3(\sqrt{3}+\sqrt{6})}{(\sqrt{3}-\sqrt{6})(\sqrt{3}+\sqrt{6})} = \frac{3(\sqrt{3}+\sqrt{6})}{3-6} = \frac{3(\sqrt{3}+\sqrt{6})}{-3} = -(\sqrt{3}+\sqrt{6}) = -\sqrt{3}-\sqrt{6}$

(2) $x+y$ を計算します。

$x+y = (\sqrt{6}-\sqrt{3})+(-\sqrt{3}-\sqrt{6}) = \sqrt{6}-\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{6} = -2\sqrt{3}$

(3) $xy$ を計算します。

$xy = (\sqrt{6}-\sqrt{3})(-\sqrt{6}-\sqrt{3}) = -(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3}) = -(6-3) = -3$

(4) $x^2+y^2$ を計算します。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (-2\sqrt{3})^2 - 2(-3) = 4 \cdot 3 + 6 = 12+6 = 18$

3. 最終的な答え

$x+y = -2\sqrt{3}$

$xy = -3$

$x^2+y^2 = 18$