不等式 $|x-4| < 3x$ を、(i) $x \geq \boxed{?}$ のときと、(ii) $x < \boxed{?}$ のときの二つの場合に分けて解き、最終的な解を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|x-4| < 3x$ を、(i) $x \geq \boxed{?}$ のときと、(ii) $x < \boxed{?}$ のときの二つの場合に分けて解き、最終的な解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(i) $x \geq 4$ のとき、絶対値記号の中身が正または0であるため、$|x-4| = x-4$ となる。

したがって、不等式は $x-4 < 3x$ となり、これを解くと、

$x-4 < 3x$

$-4 < 2x$

$x > -2$

これと $x \geq 4$ との共通範囲は、$x \geq 4$ と $x > -2$ を同時に満たす範囲なので、$x \geq 4$ となる。

(ii) $x < 4$ のとき、絶対値記号の中身が負であるため、$|x-4| = -(x-4) = -x+4$ となる。

したがって、不等式は $-x+4 < 3x$ となり、これを解くと、

$-x+4 < 3x$

$4 < 4x$

$x > 1$

これと $x < 4$ との共通範囲は、$x > 1$ と $x < 4$ を同時に満たす範囲なので、$1 < x < 4$ となる。

(i)と(ii)より、求める解は、$x \geq 4$ または $1 < x < 4$ となる。これは、$x > 1$ と同じである。

3. 最終的な答え

(i) $x \geq \boxed{4}$ のとき

不等式を解くと $x > \boxed{-2}$

これと $x \geq \boxed{4}$ との共通範囲は $\boxed{4} \leq x$

(ii) $x < \boxed{4}$ のとき

不等式を解くと $x > \boxed{1}$

これと $x < \boxed{4}$ との共通範囲は $\boxed{1} < x < \boxed{4}$

(i), (ii)より、求める解は $x > \boxed{1}$ である。