(1) 関数 $y = 2x^2$ について、以下の2つの範囲における $y$ の変域を求めます。 1. $2 \le x \le 4$ 2. $-2 \le x \le 1$ (2) 関数 $y = x^2$ について、$x$ の変域が $-1 \le x \le 2$ のときの $y$ の変域を求めます。 (3) 2次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ について、グラフの頂点の座標と軸の方程式を求めます。また、$0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = 2x^2$ について、以下の2つの範囲における $y$ の変域を求めます。

1. $2 \le x \le 4$

2. $-2 \le x \le 1$

(2) 関数 $y = x^2$ について、$x$ の変域が $-1 \le x \le 2$ のときの $y$ の変域を求めます。

(3) 2次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ について、グラフの頂点の座標と軸の方程式を求めます。また、$0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

1. $2 \le x \le 4$ のとき

* $x = 2$ のとき、$y = 2(2^2) = 8$

* $x = 4$ のとき、$y = 2(4^2) = 32$

$y$ は増加関数なので、$8 \le y \le 32$

2. $-2 \le x \le 1$ のとき

* $x = -2$ のとき、$y = 2(-2)^2 = 8$

* $x = 1$ のとき、$y = 2(1)^2 = 2$

$x=0$ のとき、$y=0$となるので、

$0 \le y \le 8$

(2)

$y = x^2$ について、$-1 \le x \le 2$ のとき

* $x = -1$ のとき、$y = (-1)^2 = 1$

* $x = 2$ のとき、$y = (2)^2 = 4$

$x=0$ のとき、$y=0$となるので、

$0 \le y \le 4$

(3)

$y = x^2 - 4x + 1$ について

* 平方完成します。

$y = (x - 2)^2 - 4 + 1$

$y = (x - 2)^2 - 3$

* 頂点の座標は $(2, -3)$

* 軸の方程式は $x = 2$

* $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

$x = 0$ のとき、$y = (0 - 2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$x = 3$ のとき、$y = (3 - 2)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

頂点の $x$ 座標が $0 \le x \le 3$ に含まれているので、最小値は頂点の $y$ 座標の値となります。

* 最小値は $-3$

* 最大値は $x = 0$ のときの $y$ の値である $1$ となります。

3. 最終的な答え

(1)

1. $8 \le y \le 32$

2. $0 \le y \le 8$

(2)

$0 \le y \le 4$

(3)

* 頂点の座標: $(2, -3)$

* 軸の方程式: $x = 2$

* 最大値: $1$

* 最小値: $-3$