袋の中に赤玉1個、白玉1個、青玉2個の合計4個の玉が入っている。袋から玉を1個取り出し、赤玉が出た場合はその玉を袋に戻し、白玉または青玉が出た場合は袋に戻さない。この操作を2回行う。 (i) 赤玉を2回続けて取り出す確率を求める。 (ii) 白玉と青玉を1回ずつ取り出す確率を求める。 (iii) 2回目に青玉を取り出す確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉1個、白玉1個、青玉2個の合計4個の玉が入っている。袋から玉を1個取り出し、赤玉が出た場合はその玉を袋に戻し、白玉または青玉が出た場合は袋に戻さない。この操作を2回行う。

(i) 赤玉を2回続けて取り出す確率を求める。

(ii) 白玉と青玉を1回ずつ取り出す確率を求める。

(iii) 2回目に青玉を取り出す確率を求める。

2. 解き方の手順

(i) 赤玉を2回続けて取り出す確率

1回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{1}{4}$。

1回目に赤玉を取り出した場合、赤玉を戻すので、2回目に赤玉を取り出す確率は再び $\frac{1}{4}$。

したがって、赤玉を2回続けて取り出す確率は、$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$。

(ii) 白玉と青玉を1回ずつ取り出す確率

1回目に白玉を取り出し、2回目に青玉を取り出す確率は $\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12}$。

1回目に青玉を取り出し、2回目に白玉を取り出す確率は $\frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{12}$。

したがって、白玉と青玉を1回ずつ取り出す確率は、$\frac{2}{12} + \frac{2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$。

(iii) 2回目に青玉を取り出す確率

1回目に赤玉を取り出し、2回目に青玉を取り出す確率は $\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} = \frac{2}{16}$。

1回目に白玉を取り出し、2回目に青玉を取り出す確率は $\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{4}{24}$。

1回目に青玉を取り出し、2回目に青玉を取り出す確率は $\frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{4}{24}$。

したがって、2回目に青玉を取り出す確率は、$\frac{2}{16} + \frac{2}{12} + \frac{2}{12} = \frac{2}{16} + \frac{4}{24} = \frac{6}{48} + \frac{8}{48} = \frac{14}{48} = \frac{7}{24}$。

3. 最終的な答え

(i) $\frac{1}{16}$

(ii) $\frac{1}{3}$

(iii) $\frac{7}{24}$