全体集合 $U = \{x | x \text{ は12以下の正の整数} \}$、部分集合 $A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$、 $B = \{3, 6, 9, 12\}$ が与えられています。 次の集合を要素を書き並べて表します。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cap \overline{B}$ (3) $\overline{A \cup B}$ (4) $\overline{A} \cap B$

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | x \text{ は12以下の正の整数} \}$、部分集合 $A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$、 $B = \{3, 6, 9, 12\}$ が与えられています。

次の集合を要素を書き並べて表します。

(1) $\overline{A}$

(2) $A \cap \overline{B}$

(3) $\overline{A \cup B}$

(4) $\overline{A} \cap B$

2. 解き方の手順

まず、全体集合 $U$ を要素を書き並べて表します。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

(1) $\overline{A}$ は $U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合です。

$A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ より、

$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$

(2) $A \cap \overline{B}$ を求めます。

まず、$\overline{B}$ を求めます。

$B = \{3, 6, 9, 12\}$ より、

$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11\}$

$A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$

$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11\}$

よって、 $A \cap \overline{B} = \{2, 4, 8, 10\}$

(3) $\overline{A \cup B}$ を求めます。

まず、$A \cup B$ を求めます。これは、$A$ または $B$ に含まれる要素の集合です。

$A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$

$B = \{3, 6, 9, 12\}$

$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12\}$

次に、$\overline{A \cup B}$ を求めます。これは、$U$ の中で $A \cup B$ に含まれない要素の集合です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

$\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7, 11\}$

(4) $\overline{A} \cap B$ を求めます。

$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$

$B = \{3, 6, 9, 12\}$

$\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

よって、$\overline{A} \cap B = \{3, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{2, 4, 8, 10\}$

(3) $\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7, 11\}$

(4) $\overline{A} \cap B = \{3, 9\}$