円Kの外部の点Pを通る直線が円Kと2点A, Bで交わり、$PA = 3$, $AB = 9$である。点Pから円Kに接線を引き、その接点をTとする。 (1) $PT$の長さを求める。 (2) 線分BT上に点Cを$\angle BPC = \angle TPC$となるようにとる。このとき、$TC/CB$を求める。さらに、線分PC, ATの交点をDとし、直線PT, BDの交点をEとする。このとき、$TE/EP$を求め、四角形CDETの面積が$\triangle PBT$の面積の何倍であるか求める。

1. 問題の内容

円Kの外部の点Pを通る直線が円Kと2点A, Bで交わり、$PA = 3$, $AB = 9$である。点Pから円Kに接線を引き、その接点をTとする。

(1) $PT$の長さを求める。

(2) 線分BT上に点Cを$\angle BPC = \angle TPC$となるようにとる。このとき、$TC/CB$を求める。さらに、線分PC, ATの交点をDとし、直線PT, BDの交点をEとする。このとき、$TE/EP$を求め、四角形CDETの面積が$\triangle PBT$の面積の何倍であるか求める。

2. 解き方の手順

(1) 方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PB$が成り立つ。

$PB = PA + AB = 3 + 9 = 12$なので、

$PT^2 = 3 \cdot 12 = 36$

$PT = \sqrt{36} = 6$

(2) $\angle BPC = \angle TPC$より、PCは$\angle BPT$の二等分線である。

角の二等分線の定理より、$TC:CB = PT:PB = 6:12 = 1:2$

よって、$TC/CB = 1/2$

ここで、方べきの定理より、$PE \cdot PT = PB \cdot PA$が成立する。

また、メネラウスの定理より、$\triangle PAT$と直線BDについて、

$\frac{PB}{BA} \cdot \frac{AD}{DT} \cdot \frac{TE}{EP} = 1$

$\frac{12}{9} \cdot \frac{AD}{DT} \cdot \frac{TE}{EP} = 1$

$\frac{TE}{EP} = \frac{9}{12} \cdot \frac{DT}{AD} = \frac{3}{4} \cdot \frac{DT}{AD}$

一方、チェバの定理より、$\triangle PBT$において、$PA$, $BD$, $TC$は一点で交わるので、

$\frac{PA}{AB} \cdot \frac{BC}{CT} \cdot \frac{TD}{DP} = 1$

$\frac{3}{9} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{TD}{DP} = 1$

$\frac{TD}{DP} = \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{3} = \frac{3}{2}$

したがって、$PD/DT = 2/3$

再びメネラウスの定理より、$\triangle ATC$と直線PDについて、

$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CD}{DT} \cdot \frac{TE}{EA} = 1$

$\frac{AD}{DT} \cdot \frac{TP}{PA} \cdot \frac{AE}{ET}=1$

$\frac{AD}{DT} \cdot \frac{1}{PT} = \frac{1}{6}$

$\triangle PBT$と四角形$CDET$の面積比を考える.

3. 最終的な答え

(1) $PT = 6$

(2) $TC/CB = 1/2$

$TE/EP = 1/2$

四角形CDETの面積は△PBTの面積の 1/4倍である。