全体集合$U$を12以下の正の整数の集合、$A=\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$、$B=\{3, 6, 9, 12\}$とする。 次の集合を、要素を書き並べて表す。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cap \overline{B}$ (3) $\overline{A \cup B}$ (4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合$U$を12以下の正の整数の集合、$A=\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$、$B=\{3, 6, 9, 12\}$とする。

次の集合を、要素を書き並べて表す。

(1) $\overline{A}$

(2) $A \cap \overline{B}$

(3) $\overline{A \cup B}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、全体集合$U$を書き出す。

$U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

(1) $\overline{A}$ (Aの補集合) は、$U$の中で$A$に含まれない要素の集合である。

$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$

(2) $A \cap \overline{B}$ は、$A$と$\overline{B}$の共通部分である。

$\overline{B}$ (Bの補集合) を求める。

$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11\}$

$A \cap \overline{B} = \{2, 4, 8, 10\}$

(3) $\overline{A \cup B}$ は、$A \cup B$ の補集合である。

$A \cup B$ (AとBの和集合) を求める。

$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12\}$

$\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7, 11\}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$\overline{A}$と$\overline{B}$の共通部分である。

$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$

$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7, 11\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{2, 4, 8, 10\}$

(3) $\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7, 11\}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7, 11\}$