複数の数学の問題が提示されています。ここでは、以下の問題を解きます。 * 問題1: 60人の生徒が数学と英語の試験を受けた。数学の合格者は50人、英語の合格者は30人、2教科とも不合格であった者は8人であった。60人の生徒全体の集合を全体集合U,数学、英語の合格者の集合をそれぞれA, Bとして、次の問いに答えよ。(1) 2教科とも合格した者は何人か。(2) 数学だけ合格した者は何人か。 * 問題2: 集合Uの2つの部分集合A, Bに対して、n(U)=50, n(A)=35, n(B)=20である。このとき、n(A∩B) の最大値と最小値を求めよ。 * 問題3: 1から100までの整数のうち、2では割り切れるが、3でも7でも割り切れない数は何個あるか。 * 問題4: 6個の文字a, a, a, b, b, cから、3個を選んで1列に並べる場合をすべて求めよ。 * 問題5: 大中小3個のさいころを投げるとき、目の和が7になる場合は何通りあるか。 * 問題6: A市とB市は異なる5つの鉄道で結ばれている。A市からB市まで行って帰るのに、次の各場合、利用する鉄道の選び方は何通りあるか。(1) 往復で同じ鉄道を利用してよい。(2) 往復で同じ鉄道は利用しない。 * 問題7: (1) a, b, c, d, e5冊の数学の参考書の中から1冊, p, q, r3冊の英語の参考書の中から1冊、合計2冊を選ぶ方法は何通りあるか。(2) (a+b)(p+q)(x+y+z+u) を展開した式の項は何個あるか。

## 問題の回答

1. 問題の内容

複数の数学の問題が提示されています。ここでは、以下の問題を解きます。

* 問題1: 60人の生徒が数学と英語の試験を受けた。数学の合格者は50人、英語の合格者は30人、2教科とも不合格であった者は8人であった。60人の生徒全体の集合を全体集合U,数学、英語の合格者の集合をそれぞれA, Bとして、次の問いに答えよ。(1) 2教科とも合格した者は何人か。(2) 数学だけ合格した者は何人か。

* 問題2: 集合Uの2つの部分集合A, Bに対して、n(U)=50, n(A)=35, n(B)=20である。このとき、n(A∩B) の最大値と最小値を求めよ。

* 問題3: 1から100までの整数のうち、2では割り切れるが、3でも7でも割り切れない数は何個あるか。

* 問題4: 6個の文字a, a, a, b, b, cから、3個を選んで1列に並べる場合をすべて求めよ。

* 問題5: 大中小3個のさいころを投げるとき、目の和が7になる場合は何通りあるか。

* 問題6: A市とB市は異なる5つの鉄道で結ばれている。A市からB市まで行って帰るのに、次の各場合、利用する鉄道の選び方は何通りあるか。(1) 往復で同じ鉄道を利用してよい。(2) 往復で同じ鉄道は利用しない。

* 問題7: (1) a, b, c, d, e5冊の数学の参考書の中から1冊, p, q, r3冊の英語の参考書の中から1冊、合計2冊を選ぶ方法は何通りあるか。(2) (a+b)(p+q)(x+y+z+u) を展開した式の項は何個あるか。

2. 解き方の手順

**問題1**

(1) 全体集合Uの要素数は60人です。数学の合格者をA、英語の合格者をBとします。2教科とも不合格だった人は8人なので、少なくともどちらかの科目に合格した人は $60 - 8 = 52$ 人です。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ という関係が成り立ちます。 $n(A \cup B) = 52$, $n(A) = 50$, $n(B) = 30$ を代入すると、

$52 = 50 + 30 - n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = 50 + 30 - 52 = 28$

(2) 数学だけ合格した人数は、数学に合格した人数から、数学と英語の両方に合格した人数を引けば求められます。

$n(A \setminus B) = n(A) - n(A \cap B) = 50 - 28 = 22$

**問題2**

$n(A \cap B)$ の最大値は、$n(A)$と$n(B)$のうち小さい方の値です。この場合、$n(B)=20$なので、最大値は20です。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) \le n(U)$ であるから,

$n(A) + n(B) - n(A \cap B) \le n(U)$

$35 + 20 - n(A \cap B) \le 50$

$55 - n(A \cap B) \le 50$

$n(A \cap B) \ge 5$

したがって、最小値は5です。

**問題3**

1から100までの整数のうち、2で割り切れる数は $100 \div 2 = 50$ 個です。

1から100までの整数のうち、2で割り切れ、かつ3で割り切れる数 (6の倍数) は $100 \div 6 = 16$ あまり4 より、16個です。

1から100までの整数のうち、2で割り切れ、かつ7で割り切れる数 (14の倍数) は $100 \div 14 = 7$ あまり2 より、7個です。

1から100までの整数のうち、2で割り切れ、かつ3でも7でも割り切れる数 (42の倍数) は $100 \div 42 = 2$ あまり16 より、2個です。

したがって、求める数は $50 - (16 + 7 - 2) = 50 - 21 = 29$ 個です。

**問題4**

3個の文字を選ぶ組み合わせは以下の通りです。

* aaa (1通り): 並べ方は aaa (1通り)

* aab (1通り): 並べ方は aab, aba, baa (3通り)

* aac (1通り): 並べ方は aac, aca, caa (3通り)

* abb (1通り): 並べ方は abb, bab, bba (3通り)

* abc (1通り): 並べ方は abc, acb, bac, bca, cab, cba (6通り)

合計: $1 + 3 + 3 + 3 + 6 = 16$ 通り

**問題5**

大、中、小のサイコロの目をそれぞれx, y, zとすると、$x+y+z=7$となる組み合わせを考えます。ただし、$1 \le x, y, z \le 6$です。

* (1, 1, 5) → 3通り

* (1, 2, 4) → 6通り

* (1, 3, 3) → 3通り

* (1, 4, 2) → 6通り

* (1, 5, 1) → 3通り

* (2, 1, 4) → 6通り

* (2, 2, 3) → 6通り

* (2, 3, 2) → 6通り

* (2, 4, 1) → 6通り

* (3, 1, 3) → 3通り

* (3, 2, 2) → 3通り

* (3, 3, 1) → 3通り

* (4, 1, 2) → 6通り

* (4, 2, 1) → 6通り

* (5, 1, 1) → 3通り

3つのサイコロが区別できるので、

$3 + 6 + 3 + 6 + 3 + 6 + 6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 3 + 6 + 6 + 3 = 15$ 通り

**問題6**

(1) 往復で同じ鉄道を利用できる場合、A市からB市への鉄道の選び方は5通り、B市からA市への鉄道の選び方も5通りです。したがって、$5 \times 1 = 5$通り。

(2) 往復で同じ鉄道を利用しない場合、A市からB市への鉄道の選び方は5通り、B市からA市への鉄道の選び方は4通りです。したがって、$5 \times 4 = 20$ 通り。

**問題7**

(1) 数学の参考書を1冊選ぶ方法は5通り、英語の参考書を1冊選ぶ方法は3通りです。したがって、$5 \times 3 = 15$ 通り。

(2) $(a+b)$を展開すると項は2つ、$(p+q)$を展開すると項は2つ、$(x+y+z+u)$を展開すると項は4つです。したがって、項の数は $2 \times 2 \times 4 = 16$ 個です。

3. 最終的な答え

* 問題1: (1) 28人 (2) 22人

* 問題2: 最大値20、最小値5

* 問題3: 29個

* 問題4: 16通り

* 問題5: 15通り

* 問題6: (1) 5通り (2) 20通り

* 問題7: (1) 15通り (2) 16個