全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 4, 6\}$, $B = \{2, 5, 6, 10\}$, $C = \{1, 6, 8\}$ が与えられています。 以下の集合を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cap B$ (3) $B \cup \overline{C}$ (4) $\overline{A \cup C}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 4, 6\}$, $B = \{2, 5, 6, 10\}$, $C = \{1, 6, 8\}$ が与えられています。

以下の集合を求めます。

(1) $\overline{A}$

(2) $A \cap B$

(3) $B \cup \overline{C}$

(4) $\overline{A \cup C}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、$U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素を集めます。

(2) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分なので、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素を集めます。

(3) $B \cup \overline{C}$ を求めるには、まず $\overline{C}$ を求めます。$\overline{C}$ は $C$ の補集合なので、$U$ の要素のうち、$C$ に含まれない要素を集めます。その後、$B \cup \overline{C}$ は、$B$ と $\overline{C}$ の和集合なので、$B$ または $\overline{C}$ に含まれる要素を集めます。

(4) $\overline{A \cup C}$ を求めるには、まず $A \cup C$ を求めます。$A \cup C$ は、$A$ と $C$ の和集合なので、$A$ または $C$ に含まれる要素を集めます。その後、$\overline{A \cup C}$ は、$A \cup C$ の補集合なので、$U$ の要素のうち、$A \cup C$ に含まれない要素を集めます。

(1) $\overline{A}$の計算:

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{1, 2, 4, 6\}$

$\overline{A} = \{3, 5, 7, 8, 9, 10\}$

(2) $A \cap B$の計算:

$A = \{1, 2, 4, 6\}$

$B = \{2, 5, 6, 10\}$

$A \cap B = \{2, 6\}$

(3) $B \cup \overline{C}$の計算:

$C = \{1, 6, 8\}$

$\overline{C} = \{2, 3, 4, 5, 7, 9, 10\}$

$B = \{2, 5, 6, 10\}$

$B \cup \overline{C} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(4) $\overline{A \cup C}$の計算:

$A = \{1, 2, 4, 6\}$

$C = \{1, 6, 8\}$

$A \cup C = \{1, 2, 4, 6, 8\}$

$\overline{A \cup C} = \{3, 5, 7, 9, 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{3, 5, 7, 8, 9, 10\}$

(2) $A \cap B = \{2, 6\}$

(3) $B \cup \overline{C} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(4) $\overline{A \cup C} = \{3, 5, 7, 9, 10\}$