20以下の自然数全体の集合を$U$とする。$U$の部分集合$A$, $B$について、$A$を素数全体の集合とし、$n(B)=15$, $n(A \cap B) = 5$であるとき、次の値を求めよ。 (1) $n(A)$ (2) $n(\overline{A})$ (3) $n(\overline{B})$ (4) $n(A \cup B)$

1. 問題の内容

20以下の自然数全体の集合を$U$とする。$U$の部分集合$A$, $B$について、$A$を素数全体の集合とし、$n(B)=15$, $n(A \cap B) = 5$であるとき、次の値を求めよ。

(1) $n(A)$

(2) $n(\overline{A})$

(3) $n(\overline{B})$

(4) $n(A \cup B)$

2. 解き方の手順

(1) $A$は20以下の素数全体の集合なので、$A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$。

したがって、$n(A) = 8$。

(2) $\overline{A}$は$A$の補集合であり、$U$は20以下の自然数全体の集合なので、$n(U) = 20$。

したがって、$n(\overline{A}) = n(U) - n(A) = 20 - 8 = 12$。

(3) $\overline{B}$は$B$の補集合であり、$n(U) = 20$。

したがって、$n(\overline{B}) = n(U) - n(B) = 20 - 15 = 5$。

(4) $A \cup B$の要素数は、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$で求められる。

$n(A) = 8$, $n(B) = 15$, $n(A \cap B) = 5$なので、

$n(A \cup B) = 8 + 15 - 5 = 18$。

3. 最終的な答え

(1) $n(A) = 8$

(2) $n(\overline{A}) = 12$

(3) $n(\overline{B}) = 5$

(4) $n(A \cup B) = 18$