(1) 8人が一列に並ぶとき、子ども3人が隣り合うような並び方は何通りあるか。 (2) 8人を2組に分ける方法は何通りあるか。ただし、どちらの組にも1人は入っているものとする。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題のうち、最初の2問を解きます。

1. 問題の内容

(1) 8人が一列に並ぶとき、子ども3人が隣り合うような並び方は何通りあるか。

(2) 8人を2組に分ける方法は何通りあるか。ただし、どちらの組にも1人は入っているものとする。

2. 解き方の手順

(1)

* まず、隣り合う3人の子どもを1つのグループとして考えます。このグループと残りの5人の大人を並べるので、合計で6つのものを並べることになります。

* 6つのものの並べ方は $6!$ 通りです。

* 次に、3人の子どもの並び順を考えます。3人の子どもの並び方は $3!$ 通りです。

* したがって、求める並び方は $6! \times 3!$ 通りです。

(2)

* 8人を2組に分ける場合、それぞれの組に少なくとも1人は入っている必要があります。

* 分け方は、(1人と7人)、(2人と6人)、(3人と5人)、(4人と4人)の4パターンです。

* (1人と7人)の分け方は $_8C_1 = 8$ 通り。

* (2人と6人)の分け方は $_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通り。

* (3人と5人)の分け方は $_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

* (4人と4人)の分け方は $_8C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ 通りですが、2つの組は区別しないので、$70/2=35$通り。

* したがって、求める分け方は $8 + 28 + 56 + 35 = 127$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 4320通り

(2) 127通り