三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で与えられています。辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, Nとし、三角形LMNの重心をG'とします。 (1) G'の位置ベクトル$\vec{g'}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表してください。 (2) $\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = \vec{0}$ が成り立つことを証明してください。 ## 解き方の手順 (1) G'の位置ベクトル$\vec{g'}$を求める。 * 点L, M, Nの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{l}, \vec{m}, \vec{n}$とすると、中点の公式より $\vec{l} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ $\vec{m} = \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2}$ $\vec{n} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ * G'は三角形LMNの重心であるから、重心の公式より $\vec{g'} = \frac{\vec{l}+\vec{m}+\vec{n}}{3}$ $\vec{g'} = \frac{\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} + \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2} + \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}}{3}$ $\vec{g'} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}}{6}$ $\vec{g'} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ (2) $\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = \vec{0}$ を示す。 * $\vec{AL} = \vec{l} - \vec{a} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \vec{a}$ * $\vec{BM} = \vec{m} - \vec{b} = \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2} - \vec{b}$ * $\vec{CN} = \vec{n} - \vec{c} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} - \vec{c}$ * $\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = (\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \vec{a}) + (\frac{\vec{c}+\vec{a}}{2} - \vec{b}) + (\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} - \vec{c})$ $\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = \frac{\vec{b}+\vec{c} - 2\vec{a} + \vec{c}+\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{a}+\vec{b} - 2\vec{c}}{2}$ $\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = \frac{0}{2}$ $\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = \vec{0}$ ## 最終的な答え (1) $\vec{g'} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ (2) $\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = \vec{0}$ が成り立つ。 ## 問題25 1. 問題の内容 平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを1:2に内分する点をE、対角線BDを3:2に内分する点をFとします。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明してください。

## 問題24

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で与えられています。辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, Nとし、三角形LMNの重心をG'とします。

(1) G'の位置ベクトル$\vec{g'}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表してください。

(2) $\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = \vec{0}$ が成り立つことを証明してください。

## 解き方の手順

(1) G'の位置ベクトル$\vec{g'}$を求める。

* 点L, M, Nの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{l}, \vec{m}, \vec{n}$とすると、中点の公式より

$\vec{l} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$

$\vec{m} = \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2}$

$\vec{n} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

* G'は三角形LMNの重心であるから、重心の公式より

$\vec{g'} = \frac{\vec{l}+\vec{m}+\vec{n}}{3}$

$\vec{g'} = \frac{\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} + \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2} + \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}}{3}$

$\vec{g'} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}}{6}$

$\vec{g'} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2) $\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = \vec{0}$ を示す。

* $\vec{AL} = \vec{l} - \vec{a} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \vec{a}$

* $\vec{BM} = \vec{m} - \vec{b} = \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2} - \vec{b}$

* $\vec{CN} = \vec{n} - \vec{c} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} - \vec{c}$

* $\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = (\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \vec{a}) + (\frac{\vec{c}+\vec{a}}{2} - \vec{b}) + (\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} - \vec{c})$

$\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = \frac{\vec{b}+\vec{c} - 2\vec{a} + \vec{c}+\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{a}+\vec{b} - 2\vec{c}}{2}$

$\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = \frac{0}{2}$

$\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = \vec{0}$

## 最終的な答え

(1) $\vec{g'} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2) $\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN} = \vec{0}$ が成り立つ。

## 問題25

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを1:2に内分する点をE、対角線BDを3:2に内分する点をFとします。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明してください。

2. 解き方の手順

* $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$, $\vec{d} = \vec{OD}$ とする (Oは任意の点)。

* 平行四辺形ABCDなので、$\vec{c} = \vec{b} + \vec{AD} = \vec{b} + (\vec{d} - \vec{a})$. よって, $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{d}$.

* 点Eは辺CDを1:2に内分するので、$\vec{e} = \frac{2\vec{c} + \vec{d}}{3} = \frac{2(\vec{a}+\vec{b}-\vec{d}) + \vec{d}}{3} = \frac{2\vec{a}+2\vec{b}-\vec{d}}{3}$.

* 点Fは対角線BDを3:2に内分するので、$\vec{f} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{d}}{5}$.

* 3点A, F, Eが一直線上にあるためには、$\vec{AF} = k \vec{AE}$ となる実数kが存在すればよい。

* $\vec{AE} = \vec{e} - \vec{a} = \frac{2\vec{a}+2\vec{b}-\vec{d}}{3} - \vec{a} = \frac{-\vec{a}+2\vec{b}-\vec{d}}{3}$.

* $\vec{AF} = \vec{f} - \vec{a} = \frac{2\vec{b}+3\vec{d}}{5} - \vec{a} = \frac{-5\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{d}}{5}$.

* $\vec{AF} = k \vec{AE}$を仮定すると、$\frac{-5\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{d}}{5} = k (\frac{-\vec{a}+2\vec{b}-\vec{d}}{3})$.

* $\frac{-5\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{d}}{5} = \frac{-k\vec{a}+2k\vec{b}-k\vec{d}}{3}$.

* ベクトルの係数を比較すると、$-\frac{5}{5} = -\frac{k}{3}$, $\frac{2}{5} = \frac{2k}{3}$, $\frac{3}{5} = -\frac{-k}{3}$. 全てから $k = \frac{3}{5}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$k = \frac{3}{5}$であるから、$\vec{AF} = \frac{3}{5}\vec{AE}$。したがって、3点A, F, Eは一直線上にある。