実数 $x$ を要素とする集合 $U = \{x | 0 \le x \le 10\}$, $A = \{x | 3 \le x \le 6\}$, $B = \{x | 0 \le x < 5\}$ について、以下の集合を求める問題です。 (1) $\overline{B}$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

実数 $x$ を要素とする集合 $U = \{x | 0 \le x \le 10\}$, $A = \{x | 3 \le x \le 6\}$, $B = \{x | 0 \le x < 5\}$ について、以下の集合を求める問題です。

(1) $\overline{B}$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{B}$ を求める。

$B$ は $0 \le x < 5$ であるので、全体集合 $U$ から $B$ を除いたものが $\overline{B}$ となります。

$U = \{x | 0 \le x \le 10\}$ より、$\overline{B} = \{x | 5 \le x \le 10\}$ となります。

(2) $A \cup B$ を求める。

$A = \{x | 3 \le x \le 6\}$ と $B = \{x | 0 \le x < 5\}$ の和集合を求めます。

数直線上で考えると、$A$ と $B$ を合わせた範囲は $0 \le x \le 6$ となります。

したがって、$A \cup B = \{x | 0 \le x \le 6\}$ となります。

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求める。

まず、$\overline{A}$ を求めます。$A = \{x | 3 \le x \le 6\}$ なので、$\overline{A} = \{x | 0 \le x < 3 \text{ または } 6 < x \le 10\}$ となります。

次に、$\overline{B}$ は(1)で求めたように、$\overline{B} = \{x | 5 \le x \le 10\}$ です。

$\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の共通部分なので、$6 < x \le 10$ または $5 \le x < 3$はないので、 $6 < x \le 10$と $5 \le x \le 10$ の共通範囲を求めます。

共通範囲は、$6 < x \le 10$ または $5 \le x < 6$はないので、 $5 \le x < 3$はないので、 $6 < x \le 10$と $5 \le x \le 10$の共通範囲は $6 < x \le 10$または$5 \le x<3$はないので$5\le x \le 10$と$x <3$または$6< x \le 10$の共通部分は$6<x \le 10$になります。

したがって、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{x | 6 < x \le 10\}$ となります。

または、ド・モルガンの法則より $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ であることを利用します。

(2)より、$A \cup B = \{x | 0 \le x \le 6\}$ なので、$\overline{A \cup B} = \{x | 6 < x \le 10\}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{x | 5 \le x \le 10\}$

(2) $A \cup B = \{x | 0 \le x \le 6\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{x | 6 < x \le 10\}$