与えられた4つの式を展開する問題です。 (1) $(a+b+3)(a+b-2)$ (2) $(a+b+1)(a+b-1)$ (3) $(a+b-1)^2$ (4) $(a-b-c)^2$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開する問題です。

(1) $(a+b+3)(a+b-2)$

(2) $(a+b+1)(a+b-1)$

(3) $(a+b-1)^2$

(4) $(a-b-c)^2$

2. 解き方の手順

(1) $a+b = A$ と置換すると、式は $(A+3)(A-2)$ となります。

展開して $A^2+A-6$ となり、$A$ を $a+b$ に戻すと、 $(a+b)^2 + (a+b) - 6 = a^2 + 2ab + b^2 + a + b - 6$ となります。

(2) $a+b = A$ と置換すると、式は $(A+1)(A-1)$ となります。

これは $(A+1)(A-1) = A^2 - 1$ と展開できます。$A$ を $a+b$ に戻すと、$(a+b)^2 - 1 = a^2 + 2ab + b^2 - 1$ となります。

(3) $(a+b-1)^2$ は $(a+b-1)(a+b-1)$ と同じです。

$a+b = A$ と置換すると、$(A-1)^2 = A^2 - 2A + 1$ と展開できます。$A$ を $a+b$ に戻すと、$(a+b)^2 - 2(a+b) + 1 = a^2 + 2ab + b^2 - 2a - 2b + 1$ となります。

(4) $(a-b-c)^2$ は $(a-b-c)(a-b-c)$ と同じです。

これは多項定理を用いて展開することもできますが、地道に展開すると、

$a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c) = a^2 - ab - ac - ab + b^2 + bc - ac + bc + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a^2 + 2ab + b^2 + a + b - 6$

(2) $a^2 + 2ab + b^2 - 1$

(3) $a^2 + 2ab + b^2 - 2a - 2b + 1$

(4) $a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$