実数 $x$ を変数とし、全体集合 $U = \{x | 0 \le x \le 10\}$、部分集合 $A = \{x | 3 \le x \le 6\}$、 $B = \{x | 0 \le x < 5\}$ が与えられています。 (1) $\overline{B}$ (Bの補集合) (2) $A \cup \overline{B}$ (AとBの補集合の和集合) (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (Aの補集合とBの補集合の共通部分) を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ を変数とし、全体集合 $U = \{x | 0 \le x \le 10\}$、部分集合 $A = \{x | 3 \le x \le 6\}$、 $B = \{x | 0 \le x < 5\}$ が与えられています。

(1) $\overline{B}$ (Bの補集合) (2) $A \cup \overline{B}$ (AとBの補集合の和集合) (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (Aの補集合とBの補集合の共通部分) を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\overline{B}$ を求める

$B = \{x | 0 \le x < 5\}$ の補集合は、$U$ から $B$ の要素を除いたものです。したがって、$\overline{B} = \{x | 5 \le x \le 10\}$ です。

(2) $A \cup \overline{B}$ を求める

$A = \{x | 3 \le x \le 6\}$ であり、$\overline{B} = \{x | 5 \le x \le 10\}$ です。

$A \cup \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の要素をすべて含む集合です。

$A \cup \overline{B} = \{x | 3 \le x \le 6\} \cup \{x | 5 \le x \le 10\} = \{x | 3 \le x \le 10\}$ です。

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求める

まず、$\overline{A}$ を求めます。$A = \{x | 3 \le x \le 6\}$ なので、$\overline{A} = \{x | 0 \le x < 3\} \cup \{x | 6 < x \le 10\}$ です。

次に、$\overline{B} = \{x | 5 \le x \le 10\}$ であることを思い出します。

$\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cap \overline{B} = (\{x | 0 \le x < 3\} \cup \{x | 6 < x \le 10\}) \cap \{x | 5 \le x \le 10\} = \{x | 6 < x \le 10\}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{x | 5 \le x \le 10\}$

(2) $A \cup \overline{B} = \{x | 3 \le x \le 10\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{x | 6 < x \le 10\}$