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$\angle A = 90^\circ$, $AB = 1$, $BC = 2$ である $\triangle ABC$ において、以下の内積を求める問題です。 (1) $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$ (2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ (3) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CA}$

幾何学ベクトル内積直角三角形三平方の定理
2025/5/6

1. 問題の内容

∠A=90∘\angle A = 90^\circ, AB=1AB = 1, BC=2BC = 2 である △ABC\triangle ABC において、以下の内積を求める問題です。
(1) BA→⋅BC→\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}
(2) AB→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}
(3) AC→⋅CA→\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CA}

2. 解き方の手順

まず、ACACの長さを求めます。△ABC\triangle ABCは直角三角形なので、三平方の定理より、AC2+AB2=BC2AC^2 + AB^2 = BC^2。したがって、AC2+12=22AC^2 + 1^2 = 2^2となり、AC2=4−1=3AC^2 = 4 - 1 = 3。よって、AC=3AC = \sqrt{3}です。
(1) BA→⋅BC→\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}
BA→⋅BC→=∣BA→∣∣BC→∣cos⁡∠ABC=AB⋅BC⋅cos⁡∠ABC\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}| \cos{\angle ABC} = AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}
cos⁡∠ABC=ABBC=12\cos{\angle ABC} = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{2}
BA→⋅BC→=1⋅2⋅12=1\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1
(2) AB→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}
BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}なので、
AB→⋅BC→=AB→⋅(AC→−AB→)=AB→⋅AC→−AB→⋅AB→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}
ここで、AB→⋅AC→=∣AB→∣∣AC→∣cos⁡∠BAC=1⋅3⋅cos⁡90∘=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\angle BAC} = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos{90^\circ} = 0
AB→⋅AB→=∣AB→∣2=12=1\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|^2 = 1^2 = 1
AB→⋅BC→=0−1=−1\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 - 1 = -1
(3) AC→⋅CA→\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CA}
CA→=−AC→\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{AC}なので、
AC→⋅CA→=AC→⋅(−AC→)=−∣AC→∣2=−(3)2=−3\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} \cdot (-\overrightarrow{AC}) = - |\overrightarrow{AC}|^2 = - (\sqrt{3})^2 = -3

3. 最終的な答え

(1) BA→⋅BC→=1\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 1
(2) AB→⋅BC→=−1\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -1
(3) AC→⋅CA→=−3\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CA} = -3

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