(1) 中心が直線 $y=x+3$ 上にあり、2点 $(2, 8)$、 $(-1, 5)$ を通る円の方程式を求め、$(x - \text{ア})^2 + (y - \text{イ})^2 = \text{ウ}$ の形で表したときのア、イ、ウを求める。 (2) 点 $(3, 1)$ と直線 $4x - 3y - 5 = 0$ の距離 $d$ を求め、$d = \frac{\text{エ}}{\text{オ}}$ の形で表したときのエ、オを求める。

1. 問題の内容

(1) 中心が直線 $y=x+3$ 上にあり、2点 $(2, 8)$、 $(-1, 5)$ を通る円の方程式を求め、$(x - \text{ア})^2 + (y - \text{イ})^2 = \text{ウ}$ の形で表したときのア、イ、ウを求める。

(2) 点 $(3, 1)$ と直線 $4x - 3y - 5 = 0$ の距離 $d$ を求め、$d = \frac{\text{エ}}{\text{オ}}$ の形で表したときのエ、オを求める。

2. 解き方の手順

(1)

円の中心の座標を $(a, a+3)$ とおく。円の方程式は

$(x - a)^2 + (y - (a+3))^2 = r^2$

と表せる。この円が点 $(2, 8)$ と $(-1, 5)$ を通るので、それぞれの座標を代入すると

$(2 - a)^2 + (8 - (a+3))^2 = r^2$

$(-1 - a)^2 + (5 - (a+3))^2 = r^2$

となる。$r^2$ が共通なので、

$(2 - a)^2 + (5 - a)^2 = (-1 - a)^2 + (2 - a)^2$

$4 - 4a + a^2 + 25 - 10a + a^2 = 1 + 2a + a^2 + 4 - 4a + a^2$

$29 - 14a + 2a^2 = 5 - 2a + 2a^2$

$24 = 12a$

$a = 2$

よって、円の中心は $(2, 5)$ となる。

$r^2 = (2 - 2)^2 + (8 - 5)^2 = 0^2 + 3^2 = 9$

したがって、円の方程式は $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 9$ となる。

よって、ア $= 2$、イ $= 5$、ウ $= 9$ である。

(2)

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で与えられる。

点 $(3, 1)$ と直線 $4x - 3y - 5 = 0$ の距離は、

$d = \frac{|4(3) - 3(1) - 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 - 3 - 5|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|4|}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$

したがって、エ $= 4$、オ $= 5$ である。

3. 最終的な答え

ア $= 2$

イ $= 5$

ウ $= 9$

エ $= 4$

オ $= 5$