(1) ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{3}, -1)$ と $\vec{b} = (-1, \sqrt{3})$ が与えられたとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。 (2) 3点 A(-1, 2), B(3, -2), C($\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$+1) が与えられたとき、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の内積と、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角 $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{3}, -1)$ と $\vec{b} = (-1, \sqrt{3})$ が与えられたとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

(2) 3点 A(-1, 2), B(3, -2), C($\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$+1) が与えられたとき、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の内積と、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 内積の計算：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$ を用いる。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{3})(-1) + (-1)(\sqrt{3}) = -\sqrt{3} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$

* ベクトルの大きさの計算：$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$ を用いる。

$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

* なす角の計算：$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ を用いる。

$\cos \theta = \frac{-2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{5\pi}{6}$ (または 150度)

(2)

* ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を求める。

$\overrightarrow{AB} = (3 - (-1), -2 - 2) = (4, -4)$

$\overrightarrow{AC} = (\sqrt{3} - (-1), \sqrt{3} + 1 - 2) = (\sqrt{3} + 1, \sqrt{3} - 1)$

* 内積の計算：$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB_x AC_x + AB_y AC_y$ を用いる。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (4)(\sqrt{3} + 1) + (-4)(\sqrt{3} - 1) = 4\sqrt{3} + 4 - 4\sqrt{3} + 4 = 8$

* ベクトルの大きさの計算：$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{AB_x^2 + AB_y^2}$ と $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{AC_x^2 + AC_y^2}$ を用いる。

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2 + (\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{(3 + 2\sqrt{3} + 1) + (3 - 2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

* なす角の計算：$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|}$ を用いる。

$\cos \theta = \frac{8}{(4\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}$ (または 60度)

3. 最終的な答え

(1)

内積：$-2\sqrt{3}$

なす角 $\theta$：$\frac{5\pi}{6}$

(2)

内積：$8$

なす角 $\theta$：$\frac{\pi}{3}$