与えられた式 $(a-2)(a+2)(a^2+4)(a^4+16)$ を展開して、簡略化された形にすること。

## 問題3

1. 問題の内容

与えられた式 $(a-2)(a+2)(a^2+4)(a^4+16)$ を展開して、簡略化された形にすること。

2. 解き方の手順

まず、$(a-2)(a+2)$ を計算します。これは $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ の公式を利用できます。

$$(a-2)(a+2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$$

次に、得られた結果と $(a^2+4)$ を掛け合わせます。再び $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ の公式を利用します。

$$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$$

最後に、得られた結果と $(a^4+16)$ を掛け合わせます。再び $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ の公式を利用します。

$$(a^4 - 16)(a^4 + 16) = (a^4)^2 - 16^2 = a^8 - 256$$

3. 最終的な答え

$a^8 - 256$

## 問題4

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)^2(a-b)^2(a^4+a^2b^2+b^4)$ を簡略化された形にすること。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)^2(a-b)^2$ を計算します。これは $((a+b)(a-b))^2$ と変形できます。

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ であるので、

$$(a+b)^2(a-b)^2 = (a^2 - b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$$

次に、得られた結果と $(a^4 + a^2b^2 + b^4)$ を掛け合わせます。

$$(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$$

この式を展開します。

\begin{align*}

(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^4 + a^2b^2 + b^4) &= a^8 + a^6b^2 + a^4b^4 - 2a^6b^2 - 2a^4b^4 - 2a^2b^6 + a^4b^4 + a^2b^6 + b^8 \\

&= a^8 - a^6b^2 + a^4b^4 - a^2b^6 + b^8

\end{align*}

ここで、$(a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4) = a^6 - b^6$ であることに気づけば、$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = (a^2 - b^2)^2$ より、

$(a^2 - b^2)^2 (a^4 + a^2b^2 + b^4) = (a^2 - b^2)(a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4) = (a^2 - b^2)(a^6 - b^6) = a^8 - a^2b^6 - a^6b^2 + b^8$

ここで、$a^6-b^6 = (a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)$ を使って、

$(a^2-b^2)(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4) = (a^2-b^2)(a^6-b^6) = a^8 - a^2b^6 - a^6b^2 + b^8$

3. 最終的な答え

$a^8 - a^6b^2 + a^4b^4 - a^2b^6 + b^8$

$a^8 - a^6b^2 - a^2b^6 + b^8$