問題はベクトルに関する2つの設問から構成されています。 (1) ベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$の大きさがそれぞれ$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$であり、内積が$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$であるとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求め、$\vec{a}-2\vec{b}$の大きさを求める。 (2) (図が省略されていますが) $\triangle OAB$において、辺ABを3:2に内分する点をC、辺OBを1:2に内分する点をDとし、線分ADと線分OCの交点をPとするとき、$\vec{OP}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表す（問題文から省略）。 ここでは、(1)の設問について解いていきます。

1. 問題の内容

問題はベクトルに関する2つの設問から構成されています。

(1) ベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$の大きさがそれぞれ$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$であり、内積が$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$であるとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求め、$\vec{a}-2\vec{b}$の大きさを求める。

(2) (図が省略されていますが) $\triangle OAB$において、辺ABを3:2に内分する点をC、辺OBを1:2に内分する点をDとし、線分ADと線分OCの交点をPとするとき、$\vec{OP}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表す（問題文から省略）。

ここでは、(1)の設問について解いていきます。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$は、内積の定義から求めることができます。内積の定義は以下の通りです。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$

与えられた値を代入すると、

$3 = 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{4}$ (または45°)です。

次に、 $|\vec{a} - 2\vec{b}|$を計算します。ベクトルの大きさの2乗を計算し、その後平方根を取ることで大きさを求めることができます。

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4\vec{b} \cdot \vec{b}$

$= |\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$

与えられた値を代入すると、

$= 3^2 - 4(3) + 4(\sqrt{2})^2$

$= 9 - 12 + 4(2)$

$= 9 - 12 + 8 = 5$

したがって、

$|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{4}$（または45°）

$|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{5}$