$\triangle OAB$において、辺$AB$を$3:2$に内分する点を$C$、辺$OB$を$1:2$に内分する点を$D$とする。線分$AD$と線分$OC$の交点を$P$とする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、$\vec{OC}$、$\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$で表し、$AP:PD$、$OP:PC$を求める。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、辺$AB$を$3:2$に内分する点を$C$、辺$OB$を$1:2$に内分する点を$D$とする。線分$AD$と線分$OC$の交点を$P$とする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、$\vec{OC}$、$\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$で表し、$AP:PD$、$OP:PC$を求める。

2. 解き方の手順

まず、点$C$は辺$AB$を$3:2$に内分するので、

$$\vec{OC} = \frac{2\vec{OA} + 3\vec{OB}}{3+2} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}$$

したがって、$\vec{OC} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}$である。

次に、点$P$は線分$OC$上にあるので、$OP:PC = s:(1-s)$とすると、

$$\vec{OP} = (1-s)\vec{OC} = (1-s)\left(\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}\right) = \frac{2(1-s)}{5}\vec{a} + \frac{3(1-s)}{5}\vec{b}$$

また、点$P$は線分$AD$上にあるので、$AP:PD = t:(1-t)$とすると、

$$\vec{OP} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OD} = (1-t)\vec{a} + t\left(\frac{1}{3}\vec{b}\right) = (1-t)\vec{a} + \frac{t}{3}\vec{b}$$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$$\frac{2(1-s)}{5} = 1-t, \quad \frac{3(1-s)}{5} = \frac{t}{3}$$

これらを解く。

第2式より、$9(1-s) = 5t$、すなわち、$t = \frac{9(1-s)}{5}$

これを第1式に代入して、

$$\frac{2(1-s)}{5} = 1 - \frac{9(1-s)}{5}$$

$2(1-s) = 5 - 9(1-s)$

$2 - 2s = 5 - 9 + 9s$

$2 - 2s = -4 + 9s$

$6 = 11s$

$s = \frac{6}{11}$

したがって、

$$\vec{OP} = \left(1 - \frac{6}{11}\right)\vec{OC} = \frac{5}{11}\vec{OC} = \frac{5}{11}\left(\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}\right) = \frac{2}{11}\vec{a} + \frac{3}{11}\vec{b}$$

よって、$\vec{OP} = \frac{2}{11}\vec{a} + \frac{3}{11}\vec{b}$である。

また、$t = \frac{9(1-\frac{6}{11})}{5} = \frac{9(\frac{5}{11})}{5} = \frac{9}{11}$

$AP:PD = t:(1-t) = \frac{9}{11}:\left(1-\frac{9}{11}\right) = \frac{9}{11}:\frac{2}{11} = 9:2$

$OP:PC = s:(1-s) = \frac{6}{11}:\left(1-\frac{6}{11}\right) = \frac{6}{11}:\frac{5}{11} = 6:5$

3. 最終的な答え

$\vec{OC} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}$

$\vec{OP} = \frac{2}{11}\vec{a} + \frac{3}{11}\vec{b}$

$AP:PD = 9:2$

$OP:PC = 6:5$