(1) ベクトル $\vec{a}$ の大きさが $|\vec{a}| = 3$, ベクトル $\vec{b}$ の大きさが $|\vec{b}| = 4$, 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ のとき, $|\vec{a} + \vec{b}|$ を求める。 (2) 2つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = \sqrt{3}, |\vec{a} - \vec{b}| = 1$ を満たすとき, $|2\vec{a} - 3\vec{b}|$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a}$ の大きさが $|\vec{a}| = 3$, ベクトル $\vec{b}$ の大きさが $|\vec{b}| = 4$, 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ のとき, $|\vec{a} + \vec{b}|$ を求める。

(2) 2つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = \sqrt{3}, |\vec{a} - \vec{b}| = 1$ を満たすとき, $|2\vec{a} - 3\vec{b}|$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず, $|\vec{a} + \vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

与えられた値を代入する。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 3^2 + 2(-1) + 4^2 = 9 - 2 + 16 = 23$

したがって, $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{23}$

(2)

まず, $|\vec{a} - \vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

与えられた値を代入する。

$1^2 = 2^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + (\sqrt{3})^2$

$1 = 4 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 3$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

次に, $|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2$ を計算する。

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = (2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 - 12 \vec{a} \cdot \vec{b} + 9|\vec{b}|^2$

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = 4(2^2) - 12(3) + 9(\sqrt{3})^2 = 16 - 36 + 27 = 7$

したがって, $|2\vec{a} - 3\vec{b}| = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{23}$

(2) $|2\vec{a} - 3\vec{b}| = \sqrt{7}$