ベクトル $\vec{a} = (4, -1, 0)$ と $\vec{b} = (4, 1, -1)$ の両方に垂直で、大きさが9であるベクトル $\vec{p}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (4, -1, 0)$ と $\vec{b} = (4, 1, -1)$ の両方に垂直で、大きさが9であるベクトル $\vec{p}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めるために、外積を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1) - (0)(1) \\ (0)(4) - (4)(-1) \\ (4)(1) - (-1)(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}$

次に、外積で得られたベクトルの大きさを計算します。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9$

問題文より求めるベクトルの大きさも9なので、$\vec{a} \times \vec{b}$ は条件を満たすベクトルです。

したがって、$\vec{p}$ は $\vec{a} \times \vec{b}$ を定数倍したベクトルで表すことができます。今回は、大きさが9のベクトルを求めるので、方向が同じで大きさが9のベクトルと、方向が逆で大きさが9のベクトルの2つが考えられます。

$\vec{a} \times \vec{b}$ はすでに大きさ9なので、

$\vec{p} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}$

または、

$\vec{p} = -(\vec{a} \times \vec{b}) = \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ -8 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = (1, 4, 8), (-1, -4, -8)$