$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$ であり、$\vec{a}-\vec{b}$ と $6\vec{a}+\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$ であり、$\vec{a}-\vec{b}$ と $6\vec{a}+\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}-\vec{b}$ と $6\vec{a}+\vec{b}$ が垂直であるので、内積は0である。

$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (6\vec{a}+\vec{b}) = 0$

これを展開すると、

$6\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 6\vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

$6|\vec{a}|^2 - 5\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2 = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ なので、

$6|\vec{a}|^2 - 5|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta - |\vec{b}|^2 = 0$

与えられた値を代入する。

$6(2^2) - 5(2)(3)\cos\theta - 3^2 = 0$

$24 - 30\cos\theta - 9 = 0$

$15 - 30\cos\theta = 0$

$30\cos\theta = 15$

$\cos\theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$