(1) $\triangle OAB$ において、$|OA| = 3$, $|OB| = 4$, $OA \cdot OB = 6$ のとき、$\triangle OAB$ の面積 $S$ を求める。 (2) 3点 $O(0, 0)$, $A(4, 2)$, $B(3, 5)$ を頂点とする $\triangle OAB$ の面積 $S$ を求める。 (3) 3点 $P(4, 2)$, $Q(-1, 3)$, $R(-2, -2)$ を頂点とする $\triangle PQR$ の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\triangle OAB$ において、$|OA| = 3$, $|OB| = 4$, $OA \cdot OB = 6$ のとき、$\triangle OAB$ の面積 $S$ を求める。

(2) 3点 $O(0, 0)$, $A(4, 2)$, $B(3, 5)$ を頂点とする $\triangle OAB$ の面積 $S$ を求める。

(3) 3点 $P(4, 2)$, $Q(-1, 3)$, $R(-2, -2)$ を頂点とする $\triangle PQR$ の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}|OA||OB|\sin{\theta}$ で表される。ここで、$\theta$ は $OA$ と $OB$ のなす角である。

$OA \cdot OB = |OA||OB|\cos{\theta}$ であるから、

$6 = 3 \cdot 4 \cdot \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ より

$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta} = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$\sin{\theta} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$\sin{\theta} \ge 0$ であるから、$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$S = \frac{1}{2}|OA||OB|\sin{\theta} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

(2)

面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$ で求められる。ここで、$O(0, 0)$, $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ である。

$A(4, 2)$, $B(3, 5)$ であるから、

$S = \frac{1}{2}|4 \cdot 5 - 3 \cdot 2| = \frac{1}{2}|20 - 6| = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$

(3)

面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}|(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)|$ で求められる。ここで、$P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$, $R(x_3, y_3)$ である。

$P(4, 2)$, $Q(-1, 3)$, $R(-2, -2)$ であるから、

$S = \frac{1}{2}|(4 \cdot 3 + (-1) \cdot (-2) + (-2) \cdot 2) - ((-1) \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + 4 \cdot (-2))|$

$S = \frac{1}{2}|(12 + 2 - 4) - (-2 - 6 - 8)| = \frac{1}{2}|10 - (-16)| = \frac{1}{2}|10 + 16| = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{3}$

(2) $7$

(3) $13$