$|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 2$ であり、$3\vec{a}+2\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

## 問題5

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 2$ であり、$3\vec{a}+2\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

* $3\vec{a}+2\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が垂直なので、内積は0になる。

$$(3\vec{a}+2\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = 0$$

* 内積を展開する。

$$3\vec{a} \cdot \vec{a} - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b} = 0$$

* $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ を用いる。また、$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$, $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ である。

$$3|\vec{a}|^2 - 3|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta} + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta} - 2|\vec{b}|^2 = 0$$

$$3|\vec{a}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta} - 2|\vec{b}|^2 = 0$$

* $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 2$ を代入する。

$$3(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})(2)\cos{\theta} - 2(2)^2 = 0$$

$$6 - 2\sqrt{2}\cos{\theta} - 8 = 0$$

$$-2\sqrt{2}\cos{\theta} = 2$$

$$\cos{\theta} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

* $0 \leq \theta \leq \pi$ であるから、$\theta = \frac{3}{4}\pi$.

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{3}{4}\pi$