全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$n(A \cup B) = 42$, $n(A \cap B) = 3$, $n(\overline{A} \cap B) = 15$ が与えられています。このとき、$n(B)$ と $n(A)$ を求めます。

## 問題3

1. **問題の内容**

全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$n(A \cup B) = 42$, $n(A \cap B) = 3$, $n(\overline{A} \cap B) = 15$ が与えられています。このとき、$n(B)$ と $n(A)$ を求めます。

2. **解き方の手順**

(1) $n(B)$ を求める。

$B$ は $A \cap B$ と $\overline{A} \cap B$ の和集合で、$(A \cap B) \cap (\overline{A} \cap B) = \emptyset$ なので、

$n(B) = n(A \cap B) + n(\overline{A} \cap B)$

与えられた値を代入すると、

$n(B) = 3 + 15 = 18$

(2) $n(A)$ を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

という公式を利用します。この式を変形して $n(A)$ について解くと、

$n(A) = n(A \cup B) - n(B) + n(A \cap B)$

与えられた値を代入すると、

$n(A) = 42 - 18 + 3 = 27$

3. **最終的な答え**

(1) $n(B) = 18$

(2) $n(A) = 27$